Допущения в модели Блэка-Шоулза

1. Цена акции описывается стохастическим процессом с непрерывным временем и непрерывной переменной.
2. Цена акции описывается разновидностью этого процесса – Марковский процесс. В Марковском процессе будущее значение переменной зависит только от ее непосредственно предыдущего значения. Прогнозы будущих значений не являются абсолютно точными и должны быть выражены в терминах распределения вероятностей. Марковское свойство цены утверждает, что текущая цена содержит в себе всю информацию о его предыдущих значениях, т.е. допускается, что рынок полностью эффективен, и извлечь прибыль (на длинном отрезке) невозможно.
3. Цена акции описывается разновидностью марковского процесса – винеровским процессом (этот процесс широко используется в физике для описания движения частицы, участвующей с большим количестве столкновений с молекулами). Т.е. цена имеет нормальное распределение.
4. Время выплаты и величина дивидендов известна заранее.
5. Скорость дрейфа и дисперсия цены являются постоянными величинами.

PS. Если есть еще допущения или неточности прошу поправить.

22 комментария

avatar
Т.е. цена имеет нормального распределения.
Нет цена не имеет нормальное распределение :) Приросты на заданном горизонте — да :)
Комментарий отредактирован 2013-05-24 17:13:32 пользователем vovam
avatar
Дык это не описание реальной цены, а допущения при выводе БШ))))
PS. Хотя понял о чем ты, конечно там имелось ввиду приросты цены аля доходности))
Комментарий отредактирован 2013-05-24 17:24:24 пользователем aspirin
avatar
Имхо мне кажется то, что ты привел больше похоже на описание модели геометрического броуновского движения (Geometric Brownian Motion) над которой работал Башелье и затем Самуэльсон. То есть поведение цены акции описывается этой моделью и она была известна до БШ. Винеровский процесс в этой модели собственно и обеспечивает стохастику, то есть такой себе прокси для описания «случайности».
В этой модели параметров всего два и они это дрейф (не скорость дрейфа) и волатильность, а не дисперсия, которые являются константными.

Товарищи Блэк и Шоулз (Мертон) взяли эту модель и использовали при выводе своей.
Единственное, они выбросили нафиг дрейф самой стоки и заменили его безрисковой процентной ставкой мотивируя это переходом к ценообразованию в мире свободном от риска (вот и допущения начались) что означает, что все рациональные инвесторы не могут получить в среднем доходность выше безрисковой.

Из допущений именно самой БШ связанных именно с идеей дельта хеджирования как способа для продавца опциона получить кеш флоу достаточный для выплаты покупателю опциона на дату истечения наверное можно упомянуть:
1. нулевые транзакционные косты, то есть рехеджить можно хоть в непрерывном режиме
2. бесконечную делимость актива, то есть ты можешь купить или продать хоть пол акции или даже меньше
3. отсутствие арбитража
4. возможность неограниченно брать деньги в долг или давать в долг по безрисковой ставке
5. поведение андерлаинг актива описывается моделью геометрического броуновского движения
6. по стоке не платятся дивиденды, изначально модель была разработана именно для этого случая
avatar
Имхо мне кажется то, что ты привел больше похоже на описание модели геометрического броуновского движения (Geometric Brownian Motion) над которой работал Башелье и затем Самуэльсон. То есть поведение цены акции описывается этой моделью и она была известна до БШ. Винеровский процесс в этой модели собственно и обеспечивает стохастику, то есть такой себе прокси для описания «случайности».
… Товарищи Блэк и Шоулз (Мертон) взяли эту модель и использовали при выводе своей…
Ну в общем да, идея была выявить допущения, которые использовались именно при выводе(геометрическое броуновское движение).

В этой модели параметров всего два и они это дрейф (не скорость дрейфа)
Угу, тут я ошибся, спс.

и волатильность, а не дисперсия, которые являются константными.
А разве корень из дисперсии — это не волатильность в этой модели?
Единственное, они выбросили нафиг дрейф самой стоки и заменили его безрисковой процентной ставкой мотивируя это переходом к ценообразованию в мире свободном от риска
Я понял так, что ожидаемая доходность акции не зависит от ее цены, поэтому они дрейф стоки заменили на ожидаемый дрейф/цену стоки аля доходность

Из допущений именно самой БШ связанных именно с идеей дельта хеджирования как способа для продавца опциона получить кеш флоу достаточный для выплаты покупателю опциона на дату истечения наверное можно упомянуть:
1. нулевые транзакционные косты, то есть рехеджить можно хоть в непрерывном режиме
2. бесконечную делимость актива, то есть ты можешь купить или продать хоть пол акции или даже меньше
3. отсутствие арбитража
4. возможность неограниченно брать деньги в долг или давать в долг по безрисковой ставке
5. поведение андерлаинг актива описывается моделью геометрического броуновского движения
6. по стоке не платятся дивиденды, изначально модель была разработана именно для этого случая
Спасибо
Комментарий отредактирован 2013-05-28 11:22:57 пользователем aspirin
avatar
корень из дисперсии это да, это волатильность (наверное даже более строго будет сказать, что это стандартное отклонение, так как в статистике понятие волатильности отсутствует как таковое :)), но в моделе используется именно сигма (dS/S = mu*dt + sigma*dW) и обзывают ее именно волатильность, то есть дисперсия в моделе никак не фигурирует. То есть волатильность здесь это как бы терминология самой модели. То же самое кстати относится и к дрейфу или скольжению (drift) которое по сути означает математическое ожидание и таким образом пара mu,sigma^2 описывает наше распределение доходностей актива.
avatar
Ну в общем да, нуна читать книги в оригинале, а не перевод, т.к. много неточностей перевода таких вот)))
Про сигму, да но у меня вот так описывается процесс

где a(x,t) — дрейф(МО), b(x,t)^2 — дисперсия.
Комментарий отредактирован 2013-05-28 11:48:18 пользователем aspirin
avatar
оригиналы всегда лучше :)
Посмотри книжечку Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance. Она есть на пауке. Там очень простой английский и он очень просто объясняет как модель поведения цены акции так и БШ с примерами расчетов в ексель при этом сохраняя терминологию. После нее мне, например, было гораздо легче читать Халла.
avatar
сори, я как бы не вижу противоречий с тем, что написал выше.
кстати у тебя а(x,t) and b(x,t) похоже уже не константы, а два процесса зависящих от времени, так?
avatar
Ну да, это типа обобщенный винеровский процесс, где а и b функции от t и x = стох. процесс Ито как я понимаю.
avatar
больше похоже, что x — цена. Т.е. a(x,t) — ф-ция зависимости дрейфа от цены и времени, b(x,t) — ф-ция сигмы, а e — НР с мо=0 и ско=1
avatar
Да, x — это цена)))) и все что дальше — верно
тока одно понять не могу — у нас ведь дрейф и вола константы на периоде t
Комментарий отредактирован 2013-05-28 12:15:56 пользователем aspirin
avatar
можешь пожалуйста дать ссылку где ты это читаешь чтобы увидеть весь контекст?
avatar
quantquant.com/viewtopic.php?f=31&t=1062

стр. 380-381

+ ниже Лемму Ито посмотри
Комментарий отредактирован 2013-05-28 12:25:25 пользователем aspirin
avatar
Спасибо. Теперь понял откуда ты взял скорость дрейфа и дисперсию. Я скорее говорил о главе 12.3. Лемма Ито позволяет получить аналитическое решение стох дифура описывающего поведение актива в модели геометрического броуновского движения.
avatar
Да, понял, твое уравнение это уже следующий шаг работы напильником над броуновским движением))))
avatar
Просто похоже чуток не поняли меня и я не ясно выразился, я хотел именно описать процесс броуновского движения и его допущения в свете того, что БШ на нем базируется и как следствие получает все его костыли)))
Комментарий отредактирован 2013-05-28 12:58:53 пользователем aspirin
avatar
Главное что разобрались :)
Халл в этом смысле довольно труден в качестве источника для первого знакомства с этим делом :)
avatar
Спасибо за ответы, многое прояснил
avatar
что означает, что все рациональные инвесторы не могут получить в среднем доходность выше безрисковой.
А
А разве это утверждение не вернО? в среднем по больнице ес-но.
Т.е. рынок в среднем занятие убыточное(с учетом костов), но не для всех)))
avatar
наверное так и есть :)
avatar
И имхо получается, если выкинуть косты, то модель БШ в среднем по больнице работает достаточно неплохо, только есть один костыль — вола
avatar
Пробовал прайсить реальные квоты опционов по БШ и сравнивать, применяя тупо ШВ 2 месячную, так там различия выходили в завышении рынком АТМ и далеко ОТМ опционов, имха первое — следствие ордер флоу, второе — ненормального распределения(ну и далеко ОТМ просто обычно неликвидны + обладают мин. ценой в тик, например).
Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.